Walau tidak dapat suatu pengertian tentang matematika yang tunggal dan disepakati oleh semua tokoh atau pakar matematika namun dapat terlihat adanya ciri-ciri khusus atau karakteristik yang merangkum pengertian matematika secara umum. Beberapa karakteristik itu adalah:
1. Memiliki objek abstrak
2. Bertumpu pada kesepakatan
3. Berpola pikir deduktif
4. Memiliki simbol yang kosong dari arti
5. Memperhatikan semesta pe
mbicaraan
6. Konsisten dalam sistemnya.
1. Memiliki Objek Abstrak
Dalam matematika objek dasar yang dipelajari adalah abstrak dan sering disebut objek mental. Objek-objek itu merupakan objek pikiran. Objek dasar itu meliputi fakta, konsep, operasi ataupun relasi dan prinsip. Dari objek itulah dapat disusun suatu pola dan struktur matematika.
Fakta merupakan konvensi-konvensi yang diungkapkan dengan simbol tertentu. Simbol bilangan “3” secara umum sudah dipahami sebagai bilangan “tiga”. Jika disajikan angka “3” orang sudah dengan sendirinya menangkap maksudnya yaitu ‘tiga”. Sebaliknya kalau seseorang mengucapkan kata “tiga” dengan sendirinya dapat disimbolkan dengan “3”. Fakta lain dapat terdiri atas rangkaian simbol, misalnya “3+4” yang dipahami tiga ditambah empat. Demikian juga “3x5 = 15” adalah fakta yang dipahami sebagai “tiga kali lima adalah lima belas”. Fakta yang lebih komplek adalah “3x5=5+5+5=15”. Dalam geometri juga terdapat simbol-simbol tertentu yang merupakan konvensi, misalnya “//” yang bermakna “sejajar”, “O” yang bermakna lingkaran dan sebagainya. Dalam aljabar dikenal (a,b) sebagai pasangan berurutan dan dalam kalkulus sebagai interval buka.
Konsep adalah idea abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan sekumpulan objek. Apakah objek tertentu merupakan contoh konsep ataukah bukan “segitiga” adalah nama suatu konsep abstrak. Dengan konsep itu sekumpulanobjek dapat digolongkan sebagai contoh segitiga ataukah bukan contoh “Bilangan Asli” adalah nama suatu konsep yang lebih komplek karena bilangan asli terdiri atas banyak konsep sederhana yaitu bilangan “satu”, “dua”, “tiga” dan seterusnya. Dalam matematika terdapat konsep yang amat penting yaitu “fungsi”, “variabel” dan “konstanta”. Konsep tersebut seperti halnya dengan bilangan terdapat disemua cabang matematika. Banyak konsep lain dalam matematika yang sifatnya lebih kompleks misalnya “matriks”, “vektor”, “group” dan ‘ruang matriks”
Konsep berhubungan erat dengan definisi. Definisi adalah ungkapan yang membatasi suatu konsep. Dengan adanya definisi orang dapat membuat ilustrasi atau gambar atau lambang dari konsep yang didefinisikan. Sehingga menjadi jelas apa yang dimaksud konsep tertentu. Konsep trapesium misalnya bila diungkaapkan dalam definisi “trapesium adalah segiempat yang tepat sepasang sisinya sejajar*)” akan menjadi jelas maksudnya. Konsep trapesium dapat dikemukakan dengan definsi lain, misalnya “segiempat yang terjadi jika sebuah segitiga dipotong oleh sebuah garis yang sejajar salah satu sisinya adalah trapesium**)”. Kedua definisi trapesium di atas memiliki isi kata atau makna kata yang berbeda.
Kedua definisi itu dikatakan “intensi” yang berbeda tetapi memiliki ‘ekstensi” yang sama. Kesamaan ekstensi itu dapat diuji dengan pertanyaan “adalah trapesium meurut definisi pertama yang tidak termasuk dalam trapesium menurut definisi kedua dan sebaliknya?. Ekstensi suatu definisi juga berarti “himpunan yang tertangkap oleh definisi itu”.
Definisi pertama digolongkan dalam definisi analitis, yaitu definisi yang menyebutkan genus proksimum (genus terdekat) dan deferensia spesifika (pembeda khusus). Sebagai contoh “Belah ketupat adalah jajargenjang yang...”, genus proksimumnya yaitu “jajargenjang” sedangkan deferensia spesifiknya adalah keterangan yang berada dibelakang kata “yang”.
Sedangkan definisi kedua digolongkan definisi genetik, yaitu definisi yang menyebutkan bagaimana konsep itu terbentuk atau terjadi. Sebagai contoh trapesium adalah segiemapat yang terjadi bila sebuah segitiga dipotong oleh sebuah garis yang sejajar salah satu sisinya. Jenis definisi ketiga adalah definisi dengan rumus, yaitu misalkan (1) a+b=a+(-b), (2) n!=n(n-1)! ,0!=1
Operasi adalah pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar dan pengerjaan matematika yang lain. Sebagai contoh misalnya “penjumlahan”. “perkalian”. “gabungan”. “irisan”. Unsur-unsur yang dioperasikan juga abstrak. Pada dasarnya operasi dalam matematika adalah suatu relasi khusus karena operasi adalah aturan untuk memperoleh elemen tungga dari satu atau lebih elemen yang diketahui.
Semesta dari elemen-elemen yang diketahui maupun dari elemen yang diperoleh dapat sama tetapi dapat juga berbeda. Elemen tunggal yang diperoleh disebut sebagai hasil operasi sedangaka satu atau lebih elemen yang diketahui disebut elemen yang dipoerasikan. Dalam matematika dikenal dalam berbagai macam operasi yaitu operasi unair, operasi biner, operasi terner dan sebagainya. Tergantung dari banyak elemen yang dioperasikan. Penjumlahan adalah operasi biner karena elemen yang dioperasikan ada dua. Tetapi “tambah lima” adalah operasi unair karena elemen yang dioperasikan hanya satu. Dalam himpunan operasi gabungan adalah operasi biner tetapi komplemen adalah operasi unair. Seringkali operasi juga disebut “skill” bila yang ditekankan adalah keterampilannya.
Prinsip adalah objek matematika yang kompleks. Prinsip dapat terdiri dari beberapa fakta, beberapa konsep yang dikaitkan oleh suatu relasi ataupun operasi. Secara sederhana dapatlah dikatakan bahwa prinsip adalah hubungan antara berbagai objek dasar matematika. Prinsip dapat berupa aksioma, teorema, sifat, dan sebagainya.
2. Bertumpu Pada Kesepakatan
Seperti halnya dalam kehidupan keseharian kita, termasuk kehidupan berbangsa dan bernegara, terdapat banyak kesepakatan yang mengikat semua anggota masyarakat. Dalam matematika kesepakatan merupakan suatu tumpuan yang amat penting. Kesepakatan yang mendasar adalah Aksioma dan konsep primitif. Aksioma diperlukan untuk menghindarkan berputar-putarnya argumentasi dalam pembuktian. Sedangkan konsep primitif diperlukan untuk menghindarkan berputar-putar dalam mendefinisikan. Aksioma juga disebut Postulat ataupun pernyataan pangkal (yang tidak perlu dibuktikan). Sedangkan konsep primitif yang juga disebut sebagai undefined terms ataupun pengertian pangkal tidak perlu didefinisikan. Beberapa aksioma dapat membentuk suatu sistem aksioma yang selanjutnya dapat membetuk suatu sistem aksioma yang selanjutnya dapat menurunkan berbagai teorema. Dalam aksioma tentu terdapat konsep primitif tertentu dari satu atau lebih konsep primitif dan dapat dibentuk konsep baru melalui pendefinisian.
3. Berpola Pikir Deduktif
Dalam matematika sebagai “ilmu” hanya diterima pola pikir deduktif. Pola pikir deduktif secara sederhana dapat dikatakan pemikiran “yang berpangkal dari hal yang bersifat umum diterapkan atau diarahkan pada hal yang bersifat khusus”. Pola pikir deduktif ini dapat terwujud dalam bentuk yang amat sederhana tetapi juga dapat terbentuk dalam wujud yang tidak sederhana.
Seorang siswa SD sudah mengerti makna konsep “persegi” yang diajarkan gurunya. Suatu hari siswa tersebut melihat berbagai macam bentuk pigura yang terdapat pada suatu pameran lukisan. Saat itu dia menunjukkan pigura yang berbentuk persegi dan yang bukan persegi, ini berarti siswa tersebut telah menerapkan pemahaman umum tentang persegi ke dalam situasi khusus tentang pigura-pigura tersebut. Jadi siswa itu pada waktu menunjuk pigura persegi telah menggunakan pola pikir deduktif yang tergolong sederhana.
Banyak teorema dalam matematika yang “ditemukan” melalui pengamatan-pengamatan khusus, misalnya Teorema Pythagoras. Bila hasil pengamatan tersebut dimasukan dalam struktur matematika terentu maka teorema yang ditemukan harus dibuktikan secara deduktif dengan menggunakan teorema dan definisi terdahulu yang telah diterima.
4. Memiliki Simbol yang Kosong dari Arti
Dalam matematika terdapat banyak sekali simbol yang digunakan baik berupa huruf ataupun bukan huruf. Rangkaian simbol-simbol dalam matematika dapat membentuk suatu model matematika dapat berupa persamaan, pertidaksamaan, bangun eometrik tertentu dan sebagainya. Huruf-huruf yang digunakan dalam model persamaan misalnya x+y=z belum tentu bermakna atau berarti bilangan, demikian juga tanda “+” belum tentu operasi tambah untuk dua bilangan. Makna huruf dan tanda itu tergantung dari permasalahan yang mengakibatkan terbentuknya model itu. Jadi secara umum bentuk dan tanda dalam model x+y=z masih kosong dari arti, terserah pada yang memanfaatkan model itu. Kosongnya arti simbol mauun tanda dalam model-model matematika itu justru memungkinkan “interval” matematika ke dalam bebagai pengetahuan. Kosongnya arti memungkinkan matematika memasuki medan garapan dari ilmu bahasa (linguistik).
5. Memperhatikan Semesta Pembicaraan
Sehubungan dengan kosongnya arti dari simbol-simbol dan tanda-tanda dalam matematika jelas bahwa dalam menggunakan matematika diperlukan kejelasan dalam lingkup apa simbol itu dipahami. Bila lingkup pembicaraannya bilangan. Maka simbol-simbol diartikan bilangan. Bila lingkup pembicaraannya transformasi maka simbol-simbol itu diartikan suatu transformasi. Lingkup pembicaraan itulah yang disebut semesta pembicaraan. Benar atau salahnya atau ada tidaknya penyelesaian suatu model matematika oleh semesta pembicaraannya.
Dalam semesta pembicaraan bilangan bulat terdapat model 2x=5. Adakah penyelesainnya? Kalau kita selesaikan tanpa menghiraukan semestanya akan diperoleh hasil x=2,5. Jika diperhatikan semesta pembicaraannya maka hasil itu bukan jawaban yang dikehendaki. Jadi jawaban yang sesuai dengan semestanya adalah “tidak ada jawabannya” atau penyelesaiannya tidak ada. Sering juga dikatakan himpunan penyelesaian adalah “himpunan kosong”.
Dalam semesta pembicaraan vektor dalam bidang datar terdapat model a +b =c. Jelas bahwa huruf-huruf yang digunakan itu tidak diartikan bilangan, tetapi harus diartikan vektor. Sehingga untuk menentukan penyelesaiannya diperukan cara yang berbeda dengan bilangan.
6. Konsisten Dalam Sistemnya
Dalam matematika terdapat banyak sistem. Ada sistem yang mempunyai kaitan satu sama lain tetapi juga ada sistem yang terdapat dipandang terlepas satu sama lain. Misal dikenal sistem-sistem aljabar, atau sistem-sistem geometri. Sistem aljabar dan sistem geometri tersebut dapat dipandang terlepas satu sama lain tetapi di dalam sistem aljabar sendiri terdapat beberapa sistem yang lebih “kecil” yang terkait satu sama lain. Demikian juga dalam sistem geometri, terdapat beberapa sistem “kecil” yang berkaitan satu sama lain. Dalam aljabar terdapat sistem aksioma dari ring, sistem aksioma dari field dan sebagainya. Masing-masing sistem aksioma itu memiliki keterkaitan tertentu. Demikian juga dalam sistem geometri terdapat sistem geometri netral, sistem geometri Euiclides, sistem geometri non-Euiclides dan sebagainya. Sistem-sistem geometri itu memilki kaitan tertentu juga.
