Tutorial Menentukan Rumus Luas segitga

Saya akan mencoba berbagi bagaimana cara mentukan rumus luas sebuah segitga, ini hasil dari diklat tendik ICT di P4TK Matematika Yogyakarta, video tutorialnya:

Operasi Pembagian Dengan Cara Kakon

Pembagian yang selama ini kita dapatkan di sekolah dengan cara istilah porogapit, saya mencoba tutorial pembagian dengan metode KAKON :

Gradien Garis

Tutorial pemanfaatan softwere geogebra pada pembelajaran materi persamaan garis lurus, dengan subpokok bahasan gradien garis, videonya:

Pikirkan Pelatihan Guru yang Lebih Komprehensif

JAKARTA, KOMPAS.com - Pengelolaan guru sepanjang tahun 2012 dinilai masih menjadi pekerjaan rumah yang belum juga diselesaikan. Peningkatan profesionalisme guru melalui pelatihan dinilai tak kunjung jadi jalan keluar karena tidak dilakukan dengan komprehensif.

Ketua Persatuan Guru Republik Indonesia (PGRI) Sulistiyo mengatakan, langkah peningkatan profesionalisme guru tidak pernah dilakukan secara komprehensif karena pemerintah hanya berfokus pada pelaksanaan sertifikasi tanpa menindaklanjutinya melalui evaluasi dan pelatihan pascasertifikasi.

"Pelaksanaan sertifikasi tak memiliki konsistensi justru mengabaikan tindak lanjut untuk menjaga dan meningkatkan kompetensi guru pascasertifikasi," tuturnya dalam Refleksi Akhir Tahun 2012 di Gedung Guru, Jumat (28/12/2012).

Sulistiyo mencontohkan kebijakan Uji Kompetensi Awal (UKA) dan Uji Kompetensi Guru (UKG). Kebijakan "tiba-tiba" itu dinilai PGRI diselenggarakan tanpa persiapan yang matang dan tanpa tindak lanjut yang jelas.

"Janji pemerintah untuk melakukan diklat bagi guru pasca-UKG sampai kini tak jelas konsep dan rancangannya," katanya kemudian.

PGRI juga mencatat pembinaan guru, baik profesi maupun karier, di kabupaten dan kota tidak dilakukan dengan benar. Banyak guru yang tidak memperoleh pembinaan dengan baik, termasuk peningkatan kompetensinya.

Karena pelatihan guru yang tak kunjung konsisten untuk menunjang kualitas guru itulah, PGRI juga tak yakin kurikulum baru dapat diterapkan dengan baik tahun depan.

Cuap-cuap Diklat ICT

Diklat ICT PPPPTK Matematika Yogyakarta Dalam rangka pengembangan diri sesorang untuk meningkatkan profesionalismenya salah satunya adalah dengan mengikuti kegiatan pendidikan dan pelatihan sesuai dengan bidangnya. Banyak informasi bahwa dikalangan profesi terutama teman-teman guru merasa senang apabila ada panggilan diklat baik tingkat lokal (tingkat kabupaten/ kota) bahkan lebih-lebih tingkat nasional. Singkat cerita karena penulis merupakan berprofesi sebagai guru matematika, tentu sangan senang ketika ada pengumuman di web site P4TK Matematika Yogyakarta. Dengan seksama saya baca persyartan kelengkapan berkas yang harus di bawa, agak bingung karena posisiku sudah di Bandung yang harus kemabali ke sekolah, maklum tempat tinggalku jauh dari tempat mengajar yang posisinya di kabupaten Sukabumi, yang kalau di tempuh dengan perjalanan 3 sampai 4 jam perjalanan, terlebi lagi pada tanggal 15 November 2012 hari libur dan kondisi sekolah dipakai kegiatan PGRI, lengkap sudah tantangan. Dengan semangat dan tekad untuk mengikuti kegiatan diklat maka, malam seni tanggal 19 November, berangkat pukul 02. 00 dini hari berangkat ke Sukabumi untuk melengkapi berkas, di rumah kepala sekolah, walau dalam keadaan kehujanan. Semua berkas sudah lengkap. Masih ada yang belum lengkap ternyata tiket ke Yogya belum dapat, pukul 16.00 aku ke loket bus keramajati. Suasana dengan kehujanan ba’da sholat magrib berangkat ke agen bus, pedahal tertulis ditiket berangkat pukul 18.30. tapi lengkap sudah kejenuhan karena bus baru berangkat 21.30. Berangkatlah bus kramajatiku dengan menelusuri sepanjang jalan arah ke Yogyakarta dengan diiring hujan dan liuk jalan badan jalan, sampailah singgah di rumah makan Tasikmalaya, selama istirahat aku pesan semangkok bakso dengan harga Rp 10.000,00. Setelah perut buncitku sudah terisi bagian resepsionis memanggil para penumpang segera memasuki bus karena mulai diberangkatkan, tapi apa lacur bus mogok sehingga sebagian orang untuk mendorong bus. Perjalanan bus kembali meluncur, sepanjang perjalananku tertidur, singkat cerita samapailah di Yagyakarta, kondektur mengarahkan kalau mau ke P4TK maematika nanti turun di perempatan kentungan. Sampilah di lampu merah kentungan, sambil lihat kiri kanan, ternyata ketemu sama peserta yang lagi nungu aku ulurkan tangan perkenalan, dan saya dari Subang kicaunya, saya dari Sukabumi. Singkat kata aku akhirnya terjadi pembicaraan dengan dia, mau naik apa ke P4TK, kata dia naik ojeg ongkosnya Rp 10.000,00. Akhirnya aku persilahkan dia duluan, karena tukang ojeg hanya satu sehingga saya harus mengalah untuk menunggu setelah tukang ojeg mengantarnya. Sesampainya tukang ojek kembali barulah antar aku, sampailah di P4TK Matematika dengan merogoh kocek Rp 10.000,00 untuk bayar ojeg. (sementara tulisan ini sampai off dulu nanti di sambung lagi didiklat ICT ini),

KARAKTERISTIK MATEMATIKA

Walau tidak dapat suatu pengertian tentang matematika yang tunggal dan disepakati oleh semua tokoh atau pakar matematika namun dapat terlihat adanya ciri-ciri khusus atau karakteristik yang merangkum pengertian matematika secara umum. Beberapa karakteristik itu adalah:

1. Memiliki objek abstrak

2. Bertumpu pada kesepakatan

3. Berpola pikir deduktif

4. Memiliki simbol yang kosong dari arti

5. Memperhatikan semesta pe

mbicaraan

6. Konsisten dalam sistemnya.

1. Memiliki Objek Abstrak

      Dalam matematika objek dasar yang dipelajari adalah abstrak dan sering disebut objek mental. Objek-objek itu merupakan objek pikiran. Objek dasar itu meliputi fakta, konsep, operasi ataupun relasi dan prinsip. Dari objek itulah dapat disusun suatu pola dan struktur matematika.

        Fakta merupakan konvensi-konvensi yang diungkapkan dengan simbol tertentu. Simbol bilangan “3” secara umum sudah dipahami sebagai bilangan “tiga”. Jika disajikan angka “3” orang sudah dengan sendirinya menangkap maksudnya yaitu ‘tiga”. Sebaliknya kalau seseorang mengucapkan kata “tiga” dengan sendirinya dapat disimbolkan dengan “3”. Fakta lain dapat terdiri atas rangkaian simbol, misalnya “3+4” yang dipahami tiga ditambah empat. Demikian juga “3x5 = 15” adalah fakta yang dipahami sebagai “tiga kali lima adalah lima belas”. Fakta yang lebih komplek adalah “3x5=5+5+5=15”. Dalam geometri juga terdapat simbol-simbol tertentu yang merupakan konvensi, misalnya “//” yang bermakna “sejajar”, “O” yang bermakna lingkaran dan sebagainya. Dalam aljabar dikenal (a,b) sebagai pasangan berurutan dan dalam kalkulus sebagai interval buka.

          Konsep adalah idea abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan sekumpulan objek. Apakah objek tertentu merupakan contoh konsep ataukah bukan “segitiga” adalah nama suatu konsep abstrak. Dengan konsep itu sekumpulanobjek dapat digolongkan sebagai contoh segitiga ataukah bukan contoh “Bilangan Asli” adalah nama suatu konsep yang lebih komplek karena bilangan asli terdiri atas banyak konsep sederhana yaitu bilangan “satu”, “dua”, “tiga” dan seterusnya. Dalam matematika terdapat konsep yang amat penting yaitu “fungsi”, “variabel” dan “konstanta”. Konsep tersebut seperti halnya dengan bilangan terdapat disemua cabang matematika. Banyak konsep lain dalam matematika yang sifatnya lebih kompleks misalnya “matriks”, “vektor”, “group” dan ‘ruang matriks”

          Konsep berhubungan erat dengan definisi. Definisi adalah ungkapan yang membatasi suatu konsep. Dengan adanya definisi orang dapat membuat ilustrasi atau gambar atau lambang dari konsep yang didefinisikan. Sehingga menjadi jelas apa yang dimaksud konsep tertentu. Konsep trapesium misalnya bila diungkaapkan dalam definisi “trapesium adalah segiempat yang tepat sepasang sisinya sejajar*)” akan menjadi jelas maksudnya. Konsep trapesium dapat dikemukakan dengan definsi lain, misalnya “segiempat yang terjadi jika sebuah segitiga dipotong oleh sebuah garis yang sejajar salah satu sisinya adalah trapesium**)”. Kedua definisi trapesium di atas memiliki isi kata atau makna kata yang berbeda.

Kedua definisi itu dikatakan “intensi” yang berbeda tetapi memiliki ‘ekstensi” yang sama. Kesamaan ekstensi itu dapat diuji dengan pertanyaan “adalah trapesium meurut definisi pertama yang tidak termasuk dalam trapesium menurut definisi kedua dan sebaliknya?. Ekstensi suatu definisi juga berarti “himpunan yang tertangkap oleh definisi itu”.

          Definisi pertama digolongkan dalam definisi analitis, yaitu definisi yang menyebutkan genus proksimum (genus terdekat) dan deferensia spesifika (pembeda khusus). Sebagai contoh “Belah ketupat adalah jajargenjang yang...”, genus proksimumnya yaitu “jajargenjang” sedangkan deferensia spesifiknya adalah keterangan yang berada dibelakang kata “yang”.

Sedangkan definisi kedua digolongkan definisi genetik, yaitu definisi yang menyebutkan bagaimana konsep itu terbentuk atau terjadi. Sebagai contoh trapesium adalah segiemapat yang terjadi bila sebuah segitiga dipotong oleh sebuah garis yang sejajar salah satu sisinya. Jenis definisi ketiga adalah definisi dengan rumus, yaitu misalkan (1) a+b=a+(-b), (2) n!=n(n-1)! ,0!=1

          Operasi adalah pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar dan pengerjaan matematika yang lain. Sebagai contoh misalnya “penjumlahan”. “perkalian”. “gabungan”. “irisan”. Unsur-unsur yang dioperasikan juga abstrak.       Pada dasarnya operasi dalam matematika adalah suatu relasi khusus karena operasi adalah aturan untuk memperoleh elemen tungga dari satu atau lebih elemen yang diketahui.

Semesta dari elemen-elemen yang diketahui maupun dari elemen yang diperoleh dapat sama tetapi dapat juga berbeda. Elemen tunggal yang diperoleh disebut sebagai hasil operasi sedangaka satu atau lebih elemen yang diketahui disebut elemen yang dipoerasikan. Dalam matematika dikenal dalam berbagai macam operasi yaitu operasi unair, operasi biner, operasi terner dan sebagainya. Tergantung dari banyak elemen yang dioperasikan. Penjumlahan adalah operasi biner karena elemen yang dioperasikan ada dua. Tetapi “tambah lima” adalah operasi unair karena elemen yang dioperasikan hanya satu. Dalam himpunan operasi gabungan adalah operasi biner tetapi komplemen adalah operasi unair. Seringkali operasi juga disebut “skill” bila yang ditekankan adalah keterampilannya.

          Prinsip adalah objek matematika yang kompleks. Prinsip dapat terdiri dari beberapa fakta, beberapa konsep yang dikaitkan oleh suatu relasi ataupun operasi. Secara sederhana dapatlah dikatakan bahwa prinsip adalah hubungan antara berbagai objek dasar matematika. Prinsip dapat berupa aksioma, teorema, sifat, dan sebagainya.

2. Bertumpu Pada Kesepakatan

       Seperti halnya dalam kehidupan keseharian kita, termasuk kehidupan berbangsa dan bernegara, terdapat banyak kesepakatan yang mengikat semua anggota masyarakat. Dalam matematika kesepakatan merupakan suatu tumpuan yang amat penting. Kesepakatan yang mendasar adalah Aksioma dan konsep primitif. Aksioma diperlukan untuk menghindarkan berputar-putarnya argumentasi dalam pembuktian. Sedangkan konsep primitif diperlukan untuk menghindarkan berputar-putar dalam mendefinisikan. Aksioma juga disebut Postulat ataupun pernyataan pangkal (yang tidak perlu dibuktikan). Sedangkan konsep primitif yang juga disebut sebagai undefined terms ataupun pengertian pangkal tidak perlu didefinisikan. Beberapa aksioma dapat membentuk suatu sistem aksioma yang selanjutnya dapat membetuk suatu sistem aksioma yang selanjutnya dapat menurunkan berbagai teorema. Dalam aksioma tentu terdapat konsep primitif tertentu dari satu atau lebih konsep primitif dan dapat dibentuk konsep baru melalui pendefinisian.

3. Berpola Pikir Deduktif

      Dalam matematika sebagai “ilmu” hanya diterima pola pikir deduktif. Pola pikir deduktif secara sederhana dapat dikatakan pemikiran “yang berpangkal dari hal yang bersifat umum diterapkan atau diarahkan pada hal yang bersifat khusus”. Pola pikir deduktif ini dapat terwujud dalam bentuk yang amat sederhana tetapi juga dapat terbentuk dalam wujud yang tidak sederhana.

Seorang siswa SD sudah mengerti makna konsep “persegi” yang diajarkan gurunya. Suatu hari siswa tersebut melihat berbagai macam bentuk pigura yang terdapat pada suatu pameran lukisan. Saat itu dia menunjukkan pigura yang berbentuk persegi dan yang bukan persegi, ini berarti siswa tersebut telah menerapkan pemahaman umum tentang persegi ke dalam situasi khusus tentang pigura-pigura tersebut. Jadi siswa itu pada waktu menunjuk pigura persegi telah menggunakan pola pikir deduktif yang tergolong sederhana.

        Banyak teorema dalam matematika yang “ditemukan” melalui pengamatan-pengamatan khusus, misalnya Teorema Pythagoras. Bila hasil pengamatan tersebut dimasukan dalam struktur matematika terentu maka teorema yang ditemukan harus dibuktikan secara deduktif dengan menggunakan teorema dan definisi terdahulu yang telah diterima.

4. Memiliki Simbol yang Kosong dari Arti

      Dalam matematika terdapat banyak sekali simbol yang digunakan baik berupa huruf ataupun bukan huruf. Rangkaian simbol-simbol dalam matematika dapat membentuk suatu model matematika dapat berupa persamaan, pertidaksamaan, bangun eometrik tertentu dan sebagainya. Huruf-huruf yang digunakan dalam model persamaan misalnya x+y=z belum tentu bermakna atau berarti bilangan, demikian juga tanda “+” belum tentu operasi tambah untuk dua bilangan. Makna huruf dan tanda itu tergantung dari permasalahan yang mengakibatkan terbentuknya model itu. Jadi secara umum bentuk dan tanda dalam model x+y=z masih kosong dari arti, terserah pada yang memanfaatkan model itu. Kosongnya arti simbol mauun tanda dalam model-model matematika itu justru memungkinkan “interval” matematika ke dalam bebagai pengetahuan. Kosongnya arti memungkinkan matematika memasuki medan garapan dari ilmu bahasa (linguistik).

5. Memperhatikan Semesta Pembicaraan

        Sehubungan dengan kosongnya arti dari simbol-simbol dan tanda-tanda dalam matematika jelas bahwa dalam menggunakan matematika diperlukan kejelasan dalam lingkup apa simbol itu dipahami. Bila lingkup pembicaraannya bilangan. Maka simbol-simbol diartikan bilangan. Bila lingkup pembicaraannya transformasi maka simbol-simbol itu diartikan suatu transformasi. Lingkup pembicaraan itulah yang disebut semesta pembicaraan. Benar atau salahnya atau ada tidaknya penyelesaian suatu model matematika oleh semesta pembicaraannya.

       Dalam semesta pembicaraan bilangan bulat terdapat model 2x=5. Adakah penyelesainnya? Kalau kita selesaikan tanpa menghiraukan semestanya akan diperoleh hasil x=2,5. Jika diperhatikan semesta pembicaraannya maka hasil itu bukan jawaban yang dikehendaki. Jadi jawaban yang sesuai dengan semestanya adalah “tidak ada jawabannya” atau penyelesaiannya tidak ada. Sering juga dikatakan himpunan penyelesaian adalah “himpunan kosong”.

Dalam semesta pembicaraan vektor dalam bidang datar terdapat model a +b =c. Jelas bahwa huruf-huruf yang digunakan itu tidak diartikan bilangan, tetapi harus diartikan vektor. Sehingga untuk menentukan penyelesaiannya diperukan cara yang berbeda dengan bilangan.

6. Konsisten Dalam Sistemnya

       Dalam matematika terdapat banyak sistem. Ada sistem yang mempunyai kaitan satu sama lain tetapi juga ada sistem yang terdapat dipandang terlepas satu sama lain. Misal dikenal sistem-sistem aljabar, atau sistem-sistem geometri. Sistem aljabar dan sistem geometri tersebut dapat dipandang terlepas satu sama lain tetapi di dalam sistem aljabar sendiri terdapat beberapa sistem yang lebih “kecil” yang terkait satu sama lain. Demikian juga dalam sistem geometri, terdapat beberapa sistem “kecil” yang berkaitan satu sama lain. Dalam aljabar terdapat sistem aksioma dari ring, sistem aksioma dari field dan sebagainya. Masing-masing sistem aksioma itu memiliki keterkaitan tertentu. Demikian juga dalam sistem geometri terdapat sistem geometri netral, sistem geometri Euiclides, sistem geometri non-Euiclides dan sebagainya. Sistem-sistem geometri itu memilki kaitan tertentu juga.

DEFINISI MATEMATIKA

         Apakah matematika itu? Untuk menjawab pada pertanyaan itu tidaklah mudah. Berbagai pendapat muncul tentang pengertian matematika, dipandang dari pengetahuan dan pengalaman dari masing-masing yang berkepentingan. Ada yang mengatakan matematika itu bahasa simbol; matematika bahasa numerik; matematika adalah adalah bahasa yang dapat menghilangkan sifat kabur, majemuk, dan emosional; matematika adalah berfikir logis; matematika adalah sarana berfikir; matematika adalah logika pada masa dewasa; matematika adalah ratunya ilmu sekaligus pelayannya; matematika sains mengenai kuantitas dan besaran; matematika adalah suatu sains yang bekerja menarik kesimpulan-kesimpulan yang perlu; matematika adalah sains formal yang murni; matematika adalah sains yang memanipulasi simbol; matematika adalah ilmu tentang bilangan dan ruang; matematika adalah ilmu yang mempelajari hubungan pola, bentuk, dan struktur; matematika ilmu yang abstrak dan deduktif; matematika adalah cabang ilmu pengetahuan eksakta dan terorganisir secara sistematik; matematika adalah pengetahuan tentang bilangan dan kalkulasi; matematika adalah pengetahuan tentang penalaran logik dan berhubungan dengan bilangan; matematika adalah pengetahuan tentang fakta-fakta kuantitatif dan masalah tentang ruang dan bentuk; matematika adalah pengetahuan tentang struktur-struktur yang logik; matematika adalah pengetahuan tentang aturan-aturan yang ketat, dan matematika adalah aktivitas manusia.

         Beberapa pengertian matematika yang dikemukakan di atas berfokus pada tinjauan pembuat pengertian itu. Hal ini dikemukakan dengan maksud agar dapat menangkap dengan mudah keseluruhan pandangan para ahli matematika. Ada tokoh yang sangat tertarik dengan prilaku bilangan, maka ia melihat matematika dari sudut pandang bilangan itu. Tokoh lain lebih mencurahkan perhatian kepada struktur-struktur, maka ia melihat matematika dari sudut pandang struktur-struktur itu. Tokoh lain lagi lebih tertarik pada pola fikir atau sistematika, maka ia melihat matematika dari sudut pandang sistematika itu. Sehingga banyak muncul definisi atau pengertian tentang matematika yang beraneka ragam. Atau dengan kata lain tidak terdapat suatu definisi tentang matematika yang tunggal dan disepakati oleh semua tokoh atau pakar matematika.

          Berdasarkan etimologi, perkataan matematika berarti ilmu pengetahuan yang diperoleh dengan bernalar. Bukan berarti ilmu lain diperoleh tidak melalui penalaran, akan tetapi dalam matematika lebih menekankan aktivitas dalam dunia rasio, sedangkan ilmu lain lebih menekankan hasil observasi atau eksprimen di samping penalaran. Pada tahap awal matematika terbentuk dari pengalaman manusia dalam dunia secara empiris, kemudian diproses dalam dunia rasio, diolah secara analisis dan sintesis dengan penalaran di dalam struktur kognetif, sehingga samapai pada konsep-konsep matematika. Agar konsep yang terbentuk dipahami orang lain dan dengan mudah dimanipulasi secara tepat, maka digunakan notasi dan istilah yang cermat yang disepakati secara universal dan dikenal dengan Bahasa matematika